Теория больших чисел простыми словами

В жизни людей широко пользуются понятием среднего арифметического нескольких чисел. Вычисляется оно просто – все числа складываются, и их сумма делится на число слагаемых. Результат деления и есть среднее арифметическое всех чисел. Поясним пример вычисления среднего арифметического, взятый из истории мер и весов. В 16 веке длина английского фута по указу короля была определена как среднее арифметическое длины ступни первых 16 человек, выходящих из церкви от заутрени в воскресенье. Задание эталона фута позволило покончить с произволом в торговле и строительстве.

Знают ли короли теорию больших чисел?

Закона больших чисел, опубликованного в 1713 году (уже после смерти) швейцарским математиком Я. Бернулли, в 16 веке знать не могли, но именно этот закон лежит в обосновании использованного при определении длины фута принципа среднего арифметического. Согласно закону больших чисел, совместное действие множества случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.
Возвращаемся к определению длины фута по 16 прихожанам. Предполагается, что поскольку прихожане не выбирались по какому-то признаку (только высокие, или только в обуви определенного фасона, или еще какому признаку), то отобраны они случайно, и среднее арифметическое 16 индивидуальных «футов» близко к неизвестному нам значению «истинного» фута, к которому можно приблизиться как угодно точно, увеличивая число слагаемых в формуле вычисления среднего арифметического (т.е. число прихожан в рассматриваемом случае).

Закон больших чисел и выборы

Теорема Бернулли, являющаяся частным случаем закона больших чисел, гласит, что относительная частота появления события в независимых экспериментах сходится к вероятности события. Этим частным случаем широко пользуются при проведении социологических исследований. Чтобы выяснить мнение очень большой группы людей, вовсе не обязательно опрашивать всех членов группы – достаточно опросить несколько сотен или тысяч случайных людей, и по их ответам составить представление о мнении всей группы по рассматриваемому вопросу.
Предположим, что в городе Н. предстоят выборы мэра, и число избирателей равно 100 тысячам. Если накануне выборов случайно отобрать 100 человек, и по результатам их опроса выясняется, что за кандидата А отдадут голоса 26 человек, а за Б – 58, нет оснований предполагать, что результат выборов окажется иным – у Б явное преимущество. Более точным предсказание результата окажется при случайном отборе 1000 человек, и т.д.
Вы обратили внимание, что при подсчете голосов после состоявшихся выборов в масштабе страны после подсчета всего 20% голосов в большинстве случаев (при достаточном разрыве) уже можно поздравлять победителя? Здесь тоже действует закон больших чисел – случайно отобранные 20% избирателей (предполагается, что данные с избирательных участков поступают случайно) по проценту проголосовавших за отдельных кандидатов не отличаются существенно от процента проголосовавших по всей совокупности избирателей.

Куда лететь в отпуск и встречу ли я динозавра?

Неосознанно законом больших чисел люди пользуются в повседневной жизни при принятии решений. Решив лететь в январе из Москвы в Таиланд на отдых, вы имеете ясное представление, какая погода вас там ждет – результаты многолетних метеорологических наблюдений позволят предсказать ожидаемую температуру воздуха и воды, которые не могут сильно отличаться от среднеарифметических значений в это время года.
И в заключение известный вопрос о вероятности встретить на улице динозавра. Вы за жизнь провели 10 тысяч экспериментов – выходили на улицу и динозавра не встретили. Вероятность встретить динозавра, следовательно, близка к нулю, и нет особых оснований предполагать, что сегодня, выйдя на улицу в 10001 раз, вы его встретите. Ваша уверенность основана на законе больших чисел.